Question

已知椭圆x2\a2+y2\b2=1的两焦点为F1、F2在椭圆上求一点，使角F1PF2最大

Answer 1

以焦点在x轴为例，设F1P=r1,F2P=r2,P(x,y).三角形F1PF2面积为S

4c^2=r1^2+r2^2-2r1r2cos<F1PF2>
=(r1+r2)^2-2r1r2(1+cos<F1PF2>)
2b^2/r1r2=1+cos<F1PF2>

S=cy=r1r2sin<F1PF2>/2
cy=[b^2sin<F1PF2>]/(1+cos<F1PF2>)
用半角公式，得sin<F1PF2>/(1+cos<F1PF2>)=tan(<F1PF2>/2)
即cy=b^2*tan(<F1PF2>/2)
其中<F1PF2>/2属于(0,90)度
故(c/b^2)*y=tan(<F1PF2>/2)

当y最大tan(<F1PF2>/2)最大，即<F1PF2>最大。
所以当P(0,正负b）时最大
同理焦点在y轴上

Answer 2

在三角形PF1F2中，令∠F1PF2=θ，令∠PF1F2=α，令∠PF2F1=β
所以在三角形PF1F2中
由正弦定理 PF2/sinα=PF1/sinβ=F1F2/sinθ F1F2=2c
又等比定理得 PF2/sinα=PF1/sinβ=F1F2/sinθ=(PF1+PF2)/(sinα+sinβ)
PF1+PF2=2a
所以 得出 2a/(sinα+sinβ)=2c/sinθ
所以 sinθ/(sinα+sinβ)=离心率e
又因为 θ+α+β=180度
所以 sinθ=sin(α+β)
所以 sin(α+β)/(sinα+sinβ)=离心率e
又sin(α+β)/(sinα+sinβ)
=2sin[(α+β)/2]*cos[(α+β)/2]/2sin[(α+β)/2]*cos[(α-β)/2]
=cos[(α+β)/2]/cos[(α-β)/2]=离心率e
所以 cos[(α+β)/2]=e*cos[(α-β)/2]
若 θ最大，则cos(α+β)最大，所以cos[(α+β)/2]也最大
所以 当α=β时 cos[(α+β)/2]最大。此时cos(α+β)最大
所以 此时 α+β最小，即θ最大
此时 cos[(α+β)/2]=e 所以 sin[(α+β)/2]=b/a 所以tg[(α+β)/2]=b/c
所以 tg(θ/2)=c/b
所以 tgθ=....

Answer 3

P点为（0，a)或（0，-a)