Question

最值问题

求F（X）= (X^2+1\x)^n+(x+1\x^2)^n x在闭区间0.5到2 的 最大最小值

Answer 1

解：

f(x)= (x^2+1/x)^n+(x+1/x^2)^n=(x^3+1)^n*(x^(-n)+1)*x^(-n)，
求导，f'(x)=3*(x^3+1)^n*n*x^2/(x^3+1)*(x^(-n)+1)*x^(-n)-(x^3+1)^n*(x^(-n))^2*n/x-(x^3+1)^n*(x^(-n)+1)*x^(-n)*n/x
=n*(x^3+1)^(n-1)*x^(-1-2*n)*(x^3+2*x^(n+3)-2-x^n)
设g(x)=x^3+2*x^(n+3)-2-x^n，
则f'(x)=n*(x^3+1)^(n-1)*x^(-1-2*n)*g(x)
当x>0时，f'(x)的符号与函数g(x)的符号相同。

g(x)=x^3+2*x^(n+3)-2-x^n
=(-2+x^3+x^(n+3))+(x^(n+3)-x^n)
=(x^3-1)+(x^(n+3)-1)+x^n*(x^3-1)
g(1)=0是很显然的。
很容易看出，当x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0。
说明f'(x)在[1/2, 2]上有唯一的零点，x=1。
由f'(x)在零点两边的符号可以判断，f(x)在这个驻点取得最小值f(1)=2^(n+1)，
在两个端点处取得最大值，f(1/2)=f(2)=(9/4)^n+(9/2)^n。