Question

定积分的运算公式

定积分的运算公式

Answer 1

1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

Answer 2

第一个黑线部分是F(x)关于x求导得到的。
第二个黑线是把上面的由积分中值定理得到的式子代入之前的F'(x)右边，消去∫f(t)dt，化简之后的结果。
下面黑色部分是用了一次如下的微分中值定理
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，这里b是x，a是ξ，c在(a,b)中间，这道题是用的η，便成了
f(x)-f(ξ)=f'(η)(x-ξ)
根据条件，在(a,b)上都是f'(x)≤0，而η∈(ξ,x)包含于(a,b)，自然f'(η)≤0，故而F'(x)≤0