Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数，且

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数，且a不等于0)满足条件：f(x-1)=f(3-x),且方程f（x）=2x有等根，（1）求f(x)的解析式（2）是否存在实数m,n(m<n),使f（x）定义域和值域分别为【m,n】和【4m,4n】,如果存在，求出m,,n的值；如果不存在，说明理由

Answer 1

解：
（1）
因为f(x-1)=f(3-x)，
所以对称轴为x=（x-1+3-x）/2=1，
所以-b/2a=1，
方程f(x)=2x有等根，
所以ax^2+bx=2x，
ax^2+bx-2x=0，
（b-2）^2-4*a*0=0且a不等于0，
解方程组-b/2a=1；
（b-2）^2-4*a*0=0
得b=2，a=-1，
所以f(x)=-x^2+2x

(2)
对f(x)求导知：x<1,f(x)递增；x>1,f(x)递减
情况1、m<n<1则
f(m)=4m,f(n)=4n解得m=0或m=-2；n=0或n=-2
所以m=-2,n=0
情况2、1<m<n则
f(m)=4n,f(n)=4m，出现n^3-4n^2+12n+48=0
令G（n）=n^3-4n^2+12n+48,对其求导知G(n)递增
又G(1)>0
所以 f(m)=4n,f(n)=4m无解
情况3、m<=1<=n 则
f(1)=4n 得 n=1/4 (舍去)
综上 m=-2,n=0