已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.
若对任意x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明:存在x0∈(x1,x2),使f(x0)=1/2[f<x1>+f<x2>]成立...
若对任意x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明:存在x0∈(x1,x2),使f(x0)=
1/2[f<x1>+f<x2>]成立 展开
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证明存在x0∈(x1,x2),使f(x0)= 1/2[f<x1>+f<x2>]成立
只需证明[f(x1)+f(x2)]/2是f(x)在区间(x1,x2)上的一个函数值即可
f(x)=ax^2+bx+c.
不妨令a>0,
设其对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)
当 h<x1时,f(x)在[x1,x2]上递增
∴f(x)的值域为[f(x1),f(x2)]
那么[f(x1)+f(x2)]/2∈[f(x1),f(x2)]
当h>x2时,同理可证,
当x1≤h≤x2时,
若f(x1)>f(x2), f(x)的值域为 [k,f(x1)]
那么[f(x2),f(x1)]是值域的子区间
∴ [f(x1)+f(x2)]/2∈[f(x2),f(x1)]
[f(x1)+f(x2)]/2∈ [k,f(x1)]
若f(x1)<f(x2), f(x)的值域为 [k,f(x2)]
那么[f(x2),f(x1)]是值域的子区间
同样[f(x1)+f(x2)]/2∈ [k,f(x2)]
∴[f(x1)+f(x2)]/2为函数在(x1,x2)内的一个函数值
一定存在x0∈(x1,x2)使得,
f(x0)= 1/2[f<x1>+f<x2>]成立
只需证明[f(x1)+f(x2)]/2是f(x)在区间(x1,x2)上的一个函数值即可
f(x)=ax^2+bx+c.
不妨令a>0,
设其对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)
当 h<x1时,f(x)在[x1,x2]上递增
∴f(x)的值域为[f(x1),f(x2)]
那么[f(x1)+f(x2)]/2∈[f(x1),f(x2)]
当h>x2时,同理可证,
当x1≤h≤x2时,
若f(x1)>f(x2), f(x)的值域为 [k,f(x1)]
那么[f(x2),f(x1)]是值域的子区间
∴ [f(x1)+f(x2)]/2∈[f(x2),f(x1)]
[f(x1)+f(x2)]/2∈ [k,f(x1)]
若f(x1)<f(x2), f(x)的值域为 [k,f(x2)]
那么[f(x2),f(x1)]是值域的子区间
同样[f(x1)+f(x2)]/2∈ [k,f(x2)]
∴[f(x1)+f(x2)]/2为函数在(x1,x2)内的一个函数值
一定存在x0∈(x1,x2)使得,
f(x0)= 1/2[f<x1>+f<x2>]成立
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