Question

高一数学 速度

已知函数f(x)=5x/x^2+2 （已证明奇函数）
研究函数在区间（o，根号2],[根号2，正无穷大）上的单调性
求函数的最大值，最小值
导函数没学呢 这样看不懂啊

Answer 1

解:在(0,+无穷)上任取两自变量x1<x2,
f(x2)-f(x1)
=5x2/(x2^2+2) - 5x1/(x1^2+2)
=(x2-x1)(10-5x1x2)/(x2^2+2)(x1^2+2)
分母是大于0的,x2-x1也是大于0的,
只需要考虑10-5x1x2的正负就可以
1)当x1<x2<根号2时, 10-5x1x2>0,f(x2)>f(x1)
即在（o，根号2]上函数单调增加;
2)根号2<x1<x2时,10-5x1x2<0,f(x2)<f(x1)
即在[根号2，正无穷大）上函数单调减少.
所以当x=根号2时,函数有最大值
f(根号2)=5倍根号2/4.
函数没有最小值.

从另一种方法也可以判断出最大值
(x-根号2)^2≥0
x^2+2≥2倍根号2 * x
所以f(x)=5x/(x^2+2)≤5x/(2倍根号2)x=
5倍根号2/4
当x=根号2时,等号成立,最大值为5倍根号2/4

Answer 2

∵f(x)=5x/x^2+2
∴f'(x)=-5/x²
∴ 当0<x≤ √2时，导函数为负数 原函数单调递减 同理在],[根号2，正无穷大）也是一样
没有最值