Question

当x大于0时，sinx为什么一定小于x

Answer 1

先考虑x∈(0,π/2).作单位圆O,单位圆与x轴正向的交点为A,取单位圆上位于第一象限内的任意一点B,连接OB,AB,并令∠AOB=x(弧度)
过B作BH⊥OA于H,则由正弦的定义,sinx=BH/OB=BH
显然,S扇形AOB>S△AOB

而S扇形AOB=lr/2=x/2
S△AOB=OA*BH/2=sinx/2
∴得sinx<x
而当x≥π/2时,sinx取值在-1到1之间,最大值为1.而x的最小值为π/2>1,故对任意x≥π/2,总有sinx<x
∴对任意x>0,有sinx<x

注意这题不可以用求导的方式设f(x)=sinx-x,因为在证明(sinx)'=cosx时,已经利用了sinx<x这一结论,如果你用求导,就是在循环论证,错误.