Question

高一函数 奇偶性

已知函数y=f(X) 若对于任何实数x y有f(x+y)=f(x)+f(y) 求证 f(x)是奇函数

Answer 1

先令x=y=0，则f(0)=2f(0)，既f(0)=0。再令y=-x，则有：f(0)=f(x)+f(-x)=0，既f(-x)=-f(x)，这就是奇函数的定义，命题得证了。若问为什么先后令x=y=0，y=-x，那是因为它们是任意数，故这样设。

Answer 2

先令x=y=0。有f（x+y）=f(0+0)=f(x)+f(y)=f(0)+f(0)
即f（0）=f(0)+f(0).
所以 f(0)=0.

令x=-y
则f(x+y)=f（-y+y）=f（0），
而f（x+y）=f（x）+f(y)=f(-y)+f(y),
所以 f（0）=f(-y)+f(y),
即f（-y）=-f（y）

又因为对于任何实数x y有f(x+y)=f(x)+f(y)，
所以函数定义域关于原点对称。
f(0)=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）为奇函数。

Answer 3

在条件式
f(x+y)=f(x)+f(y)中，
取x=0得
f(y)=f(y)+f(0)
即f(0)=0
再令x=-y得
f(0)=f(-y)+f(y)
即
f(y)=-f(-y)
即函数f(x)是奇函数

Answer 4

令x=y=0
f（0）=2f(0)
f(0)=0
令x=-y
f（x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(x)+f（-x)=0;
f(x)关于（0,0）对称；
∴ f(x)是奇函数

Answer 5

不好意思，字写得丑了。