Question

求微分方程y"+4y＝4x的通解

Answer 1

求微分方程 y''+4y=4x的通解
解：齐次方程y''+4y=0的特征方程 r²+4=0的根：r₁=-2i，r₂=2i；
因此齐次方程的通解为：y=c₁cos2x+c₂sin2x;
设原方程的特解为：y*=ax+b；那么y*'=a，y*''=0；
代入原方程得：4(ax+b)=4ax+4b=4x；∴a=1，b=0；故y*=x；
于是得原方程的通解为：y=c₁cos2x+c₂sin2x+x;

Answer 2

y''+4y=4x
let
yp=Ax+B
yp'=A
yp''=0
yp''+4yp=4x
4(Ax+B)=4x
A=1,B=0
yp=x
The aux. equation
p^2+4=0
p=2i or -2i
yg=C(cos2x+cos2x)
y=yg+yp = C(cos2x+cos2x)+4x