Question

线性代数问题，求详细解释或详细解题过程。

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为0.
那么，如何确定此方程组无解？什么情况下有无限解？

题目如下：
（1+λ）x+y+z=0
x+(1+λ）y+z=3
x+y+（1+λ）z=λ

λ为何值时，此方程组无解？λ为何值时，此方程组有无限解？求通解。

Answer 1

光靠系数行列式为0得到的λ无法直接说明何时无解，何时有无穷多的解。

这类题应该用增广矩阵来做：

对方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形。

从最后一行可以看出，

当-λ(3+λ)=0，而(λ+3)(1-λ)≠0时无解，此时λ=0；

当-λ(3+λ)=0，且(λ+3)(1-λ)=0时有无穷多解，此时.

代入λ=-3并根据图中所得阶梯形矩阵，求出

x=t-1,y=t-2,z=t，t为任意实数，即为通解。

增广矩阵的变换过程附图(点击可放大):

Answer 2

详细过程不好打，我给你解释一下好了。矩阵第一行是(1+λ)，1，1，0。第二行是1，(1+λ)，1，3。最后一行是1，1，(1+λ)，λ。虽说用高斯消元法解就OK了，但是你会发现，如果把这三行加起来做会更简便。相加，得到：(3+λ)，(3+λ)，(3+λ)，(3+λ)。如果(3+λ)≠0，同除以(3+λ)，得到：1，1，1，1。即：x+y+z=1。那么λx=-1，λy=2，λz=λ-1。如果λ≠0，我们就得到了：x=-1/λ，y=2/λ，z=λ-1/λ。当然，这是在λ≠-3且λ≠0的情况下取到的。
现在开始取特殊值：当λ=-3的时候，你试试x=-1/λ，y=2/λ，z=λ-1/λ还成不成立，即：x=1/3，y=-2/3，z=4/3对不对。发现是对的。所以这个式子对于λ=-3也成立。当λ=0时，三个式子变成了：x+y+z=0，x+y+z=3，x+y+z=-3，这显然无解。
综上所述：当λ=0时无解。当λ≠0时有无限解。通解是：x=-1/λ，y=2/λ，z=λ-1/λ。