Question

高数介值定理推论有毛病吧

用上面的方法只能证最大值M与最小值m之间的情况，但最大值与最小值并不一定在端点呀，这样的话，[x1,x2]以外的情况没给出证明呀，只证了[x1,x2]以内的情况呀

Answer 1

这不是一句废话。

首先闭区间连续函数一定有区间内的最大最小值。（根据有界性和最大最小值定理），
其次你要搞清楚，这个定理说明的是这个闭区间上”所有在m和M之间“的值，都能取到。
它强调的是”能取到“，所以根据介值定理，[x1,x2]内能”取到“任何一个”介于m和M

之间的数，再结合x1点和x2点的最大最小值，是不是就说明[m,M]范围内的所有数，这个区间上都有，既然[x1,x2]包含在外面的区间内，那外面的区间也是一样的。

Answer 2

可以把前面改成:定义在闭区间上的连续函数...这样就没问题了,因为后面所指的函数值也是以闭区间为定义域的x的象.

追问

就算是定义在闭区间上的函数，他们的最大值和最小值之间也未必能囊括所有的值呀