证明1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n

用数学归纳法证明上述不等式(n>=2,n为正整数)... 用数学归纳法证明上述不等式(n>=2,n为正整数) 展开
winelover72
2010-07-30 · TA获得超过4.2万个赞
知道大有可为答主
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证明:1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n (n>=2,n属于N*)
1)1+1/2^2=5/4 < 3/2
2) 设:1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k,
1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2<(2k-1)/k+1/(k+1)^2
=(2k^3+4k^2+2k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2
=2-(k-1)/k(k+1)<[2(k+1)-1]/(k+1)
也就是如果n=k时成立能推出n=k+1也成立
所以,1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n
剑舞红尘醉
2010-07-30 · TA获得超过1756个赞
知道小有建树答主
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首先
1+1/2^2=5/4<(2n-1)/n=3/2

所以设1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k成立
看k+1
1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<(2k-1)/k + 1/(k+1)^2
=[(2k-1)(k+1)+1]/(k+1)^2
=[2k^2+k]/(k+1)^2
<(2k+1)/k+1
=(2(k+1)-1)/(k+1)
成立
所以1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n
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