高数 :设2阶矩形A=(a1,a2,a3)有三个不同的特征值且a3=a1+2a2
（1）证：因为 α3=α1+2α2，显然满足列向量线性相关，故A的行列式为0，3阶矩阵有三个不同特征值，则此矩阵可对角化，所以A必然有一个特征值是0，对角矩阵秩为2，A的秩为2。
（2）β＝(α1，α2，α3)(1，1，1)T，(1，1，1)为一个特解，
A的秩为2，齐次方程Ax＝0的解集有一个线性无关的向量
α1＋2α2-α3＝A(1，2，-1)＝0(1，2，-1)，则基础解系为(1，2，-1)
通解为k(1，2，-1)＋(1，1，1)，k为任意常数。
扩展资料：
1、特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
2、矩阵可对角化有两个充要条件：
①矩阵有n个不同的特征向量；
②特征向量重根的重数等于基础解系的个数。
对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）
参考资料：百度百科-特征值
第（1）题
α3=α1+2α2，显然满足列向量线性相关
从而必然有一个特征值是0
由于有3个不同特征值，则其余两个特征值，必然都不为0
从而有2个非零特征值λ2，λ3，从而A与对角阵diag(0,λ2,λ3)相似
从而r(A)=r(diag(0,λ2,λ3))=2，即A的秩等于2。
第（2）题
β＝(α1，α2，α3)(1，1，1)T，(1，1，1)为一个特解，A的秩为2，齐次方程Ax＝0的解集有一个线性无关的向量
α1＋2α2-α3＝A(1，2，-1)＝0(1，2，-1)，则基础解系为(1，2，-1)
通解为k(1，2，-1)＋(1，1，1)，k为任意常数
扩展资料：
齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
定理1
齐次线性方程组
有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组
仅有零解的充要条件是r(A)=n。
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组
的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组
的两个解，则x1+x2也是它的解。
定理4 对齐次线性方程组
存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。
参考资料：百度百科-齐次线性方程
α3=α1+2α2，显然满足列向量线性相关
从而必然有一个特征值是0
由于有3个不同特征值，则其余两个特征值，必然都不为0
从而有2个非零特征值λ2，λ3，从而A与对角阵diag(0,λ2,λ3)相似
从而r(A)=r(diag(0,λ2,λ3))=2，即A的秩等于2
β＝(α1，α2，α3)(1，1，1)T，(1，1，1)为一个特解，A的秩为2，齐次方程Ax＝0的解集有一个线性无光的向量
α1＋2α2-α3＝A(1，2，-1)＝0(1，2，-1)，则基础解系为(1，2，-1)
通解为k(1，2，-1)＋(1，1，1)，k为任意常数
