Question

如果函数f(x)=ax^2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是

有图解释更好来着，x =-1是怎么来的

Answer 1

答：
f(x)=ax²+2x+3在x<4时是单调递增。
1）当a=0时，f(x)=2x+3是单调递增函数，符合；
2）当a<0时，抛物线f(x)开口向下，对称轴x=-1/a>0
要使得f(x)在x<4上是增函数，对称轴x=-1/a>=4
所以：-1/4<=a<0
3）当a>0时，抛物线f(x)开口向上，不能保证在x<4上是增函数。
综上所述，-1/4<=a<=0时，f(x)在区间（-∞，4）上是增函数。

追问

对称轴是怎么知道的
x =-1?

Answer 2

答：
f(x)=ax²+2x+3在x<4时是单调递增。
1）当a=0时，f(x)=2x+3是单调递增函数，符合；
2）当a<0时，抛物线f(x)开口向下，对称轴x=-1/a>0
要使得f(x)在x<4上是增函数，对称轴x=-1/a>=4
所以：-1/4<=a<0
3）当a>0时，抛物线f(x)开口向上，不能保证在x<4上是增函数。
综上所述，-1/4<=a<=0时，f(x)在区间（-∞，4）上是增函数。

Answer 3

这道题目需要分类讨论，对于二次函数，主要考察对称轴，希望对你有帮助

Answer 4

a=0则f(x)=2x-3，在R上递增，符合题意
a≠0，则是二次函数
x＜4递增则开口向下，a小于0
且对称轴在增区间右边
所以-2/2a≥4
a≥-1/4

综上
-14≤a≤0

Answer 5

结论:-1/4≤a≤0
f'(x)=2ax+2
a可取的充要条件是:
a≤0 且f'(4)=8a+2≥0
即a≤0 且a≥-1/4
所以 a的取值范围是-1/4≤a≤0