Question

高中立体几何问题求解

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3
(1)求证AB⊥BC
(2)如果AB=BC=2√3，求侧面PBC与侧面PAC所成的二面角的大小

Answer 1

(1) 取AC中点为D,连接PD,BD
∵ PA=PA,D为AC中点，PD⊥AC
∵面PAC⊥面ABC,
∴PD⊥面ABC
∴PD⊥BD
BD^2=PB^2-PD^2=PA^2-PD^2=AD^2=DC^2
即 BD=AD=DC
∴ ∠CBA=90°（直角三角形斜边中线等于斜边一半逆定理）

(2) 过D做DE垂直CP,垂足为E,连接BE
AB=BC=2√3
∴△ABC是等腰直角三角形
∴BD⊥AC,AC=2√6
又因为 BD,⊥PD
∴BD⊥面PAC
∴BD⊥CP
又∵DE⊥CP
∴CP⊥面BDE
∴CP⊥BE,
∴∠DEB就是所要求的二面角。
BD=CD=1/2AC=√6
又PD⊥AC，DE⊥CP
DE/DC=PD/PC=sin∠PCD
PD^=PC^2-CD^2=3
PD=√3
DE==CD*PD/PC=√2
tan∠BED=BD/DE=√3
∠BED=60°
即二面角是60°

Answer 2

(1)过P做PD⊥平面ABC

△PDA≌△PDB≌△PDC(HL)

∴DA=DB=DC

∴AB⊥BC

(2)用几何方法吧~~懒得建系了

B到PAC距离为2√3/√2=√6
B到直线PC的距离用面积法计算。记为d

△PBC是等腰三角形，以BC为底，勾股定理得出高为√6

S=1/2*2√3*√6=3√2
S=1/2*3*d

d=2√2

故sin二面角=√6/d=√3/2

二面角=60°