Question

不等式问题

实数x,y满足xy>0,且x^2×y=2，则xy+x^2的最小值是多少？

给出证明过程，谢谢
恩证明给我看看

Answer 1

xy+x^2=xy/2+xy/2+x^2≥3倍3次根号(xy/2*xy/2*x^2)
xy+x^2≥3倍3次根号(x^4y^2/4)
xy+x^2≥3倍3次根号[(x^2y)^2/4]
xy+x^2≥3倍3次根号1
xy+x^2≥3
所以xy+x^2的最小值是3

Answer 2

x^2y=2 得y>0 进而x>0
所以
xy+x^2=2/x+x^2=3+(x-1)^2(x+2)/x>=3
当x=1，y=2时取到等号
所以xy+x^2的最小值为3

Answer 3

xy+x^2=1/2xy+1/2xy+x^2>=3*三次根号（1/2xy*1/2xy*x^2）=3*三次根号(1/4*x^4*y^2)=3

其实这是一个拓展，高一其实可以用：a+b+c>=3*三次根号(abc)
依此类推：a+b+c+d>=4*四次根号(abcd)
可以证明的……不过现在么？
等价于a^3+b^3+c^3-3abc≥0.因式分解得0.5（a+b+c）[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0.