Question

一道数列题

已知数列an满足a1=1,an+1=an+根号下（an^2+1),令an=tanθ（0<θ<90)
求证（1）数列（θn-π/2)为等比数列
（2）a1+a2+a3+……+an>(n-1)π/2

Answer 1

有点难度，我喜欢。。。
证明：
（1）an（an-2an-1）=1
tanθ（tanθ-2an-1）=1
an-1=（tanθ^2-1)/2tanθ=-cot2θ=tan（2θ-π/2）
令bn=θ 则bn-1=2bn-π/2
（bn-1-π/2）=2（bn-π/2)
故数列（θn-π/2)为等比数列

(2)由（1）可得：bn=（b1-π/2）*1/2^n-1+π/2
而a1=1
b1=π/4
bn=π/2-π/2^（n-1）
an=tanbn=tan[π/2-π/2^（n+1）]
由于bn∈【0，π/2】
故有x<tanx
故tanbn>bn
a1+a2+a3+……+an>b1+b2+b3+b4+b5+……bn=n*π/2-π/4*（1+1/2+1/2^2+……+1/2^n-1)=n*π/2-π/4[(1-1/2^n)/(1-1/2)]=(nπ/2-π/2（1-1/2^n)=(n-1)π/2+π/2^(n+1)>(n-1)π