Question

一道初中几何题

已知△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,点E、F、是线段AB上的两个动点,满足∠ECF=45°，求证：AE²+FB²=EF²
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这个地址是图。

Answer 1

证明：
将△BCF绕点A顺时针旋转90°，的到△CAF，连接EG
则AG=BF，∠CAG=∠B=45°
∴∠EAG=90°
∴AG²+AE²=EG²
∵∠ECG=45°，∠ACB=90°
∴∠BCF+∠ACE=45°
∴∠ACG+∠ACE=45°
∴∠ECG=45°=∠EAF
因为CG =CF ,CE=CE
∴△CEG≌△CEF
∴EG=EF
∴EF²=AE²+AG²=AE²+BF²

Answer 2

无

Answer 3

把三角形ACE绕C点逆时针转90度，使CA,CB重合，然后∠FBE'=90度
证明三角形CEF全等于三角形CE'F，则EF=E'F，所以AE²+FB²=AE²+E'B²=E'F²=EF²

Answer 4

将△CAE绕点C逆时针旋转90度到△CBG.
容易证明EF=FG,BG=AE,BG^2+FB^2=FG^2
因此AE2+FB2=EF2。

关键是将AE,FB和EF构成一个直角三角形的三边。

Answer 5

把△CFB以C点为原点旋转，使CB与CA重合，
F到F'处。
∠F'CE=∠FCE=45°
CF'=CF,共有边CE,
△CF'E全等△CFE
EF=EF'
∠EAF'=90°
所以
AE²+FB²=EF²