Question

高一数学三角函数问题的

Answer 1

原式可化简为
(a^2+b^2)(sinAcosB-cosAsinB)=(a^2-b^2)(sinAcosB+cosAsinB)
即
2*b^2sinAcosB=2*a^2cosAsinB（不可能一个三角形中有两个直角）所以A和B都不可能是直角）
因为由正弦定理得：
sinA/a=sinB/b
sinA/sinB=a/b
所以
可化简为2*bcosB=2*acosA
cosB/cosA=a/b=sinA/sinB;
所以cosAsinA=cosBsinB;
(1/2)sin(2A)=(1/2)sin(2B)
所以有2A=2B或者是2A+2B=180
(因为sin(π-A)=sinA)
所以有A=B或者是直角三角形；

Answer 2

设
x=sinAcosB
y=cosAsinB
∵(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B)
即(a^2+b^2)（x-y)=(a^2-b^2)(x+y)
整理得
b^2x=a^2y
b^2sinAcosB=a^2cosAsinB
有正弦定理知
bsinA=asinB≠0
∴
bcosB=acosA
所以sinBcosB=sinAcosA
所以
sin2A=sin2B
所以
2A=2B或2A+2B
=180°
所以
A=B或A+B=90°
所以ABC是等腰三角形或直角三角形

Answer 3

证明：(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B)
a^2sinAcosB-a^2cosAsinB+b^2sinAcosB-b^2cosAsinB
=a^2sinAcosB+a^2cosAsinB-b^2sinAcosB-b^2cosAsinB
a^2cosAsinB=b^2sinAcosB
而
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
sinA/sinB=a/b
得a^2/b^2=(a^2+c^2-b^2)/(b^2+c^2-a^2)
a^2*c^2-b^2*c^2=a^4-b^4
c^2(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)
a^2-b^2=0或a^2+b^2=c^2
即a=b或a^2+b^2=c^2
所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。