Question

求一些函数对称性,周期性的常见结论及其证明方法

求一些函数对称性,周期性的常见结论及其证明方法

Answer 1

周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化,正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值）,如果一个函数能找到满足这一条件的T,那么这个函数就叫做周期函数,周期为T.f(1+x)=f(1-x)
(1+x)+(1-x)=2
也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为1,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=1对称.同理,f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4
也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为2,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=2对称.如果一个函数同时具备两个对称轴,那么,相临的轴的间距就是函数的半个周期,你可以对照正弦、余弦函数的图像发现这个规律.这样,本题的函数周期为2,那么函数必然还关于x=0对称,所以函数是偶函数.根据定义或者画图象,不过画图象比较麻烦,一般选择用定义我来举个例子f(x)=|sinx|+|2cosx|的周期我们可以才用定义f(x+T)=f(x)来检验f(x+2π)=f(x)f(x+π)=|-sinx|+|-2cosx|=f(x)f(x+π/2)=|cosx|+|2sinx|不等于f(x)容易看出最小正周期为π周期函数的周期问题是十分复杂的.如果,两个函数不能够化成一个函数,一般的可以证明如果两个函数的周期是可公度的,那么,不同周期的两个函数的和,差,积,商的周期是这两个周期的共同的整数倍.如果这俩函数的周期不可公度的,那么,它们的和,差,积,商不是周期函数.而对待周期相同的两个函数只能具体地分别对待.例如:y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2.T=πy2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2.T=πy3=y1+y2=1.T是任意实数,但是没有最小正周期.y4=sinx/cosx=tanx,T=π.y5=sin18x+cos15x.T=2π/3=120度是T1=π/9=20度和T2=2π/15=24度的公倍数.y6=sin2x+sinπx.T1=π和T2=2是不可公度的,因此此函数不是周期函数.对于任意x,由偶函数知f(x)=f(-x)；又由图像关于x=1对称,所以f(-x)=f(x+2)=f(x).由此即证明了f(x)是周期函数