Question

判断反常积分∫1~∞arctanx/1+x^2 dx的敛散性

Answer 1

首先∫(1,π)sinx/(1+x^2)*dx收敛，设为a0
剩下的部分是σ{n=1,+∞}
∫(nπ,nπ+π)sinx/(1+x^2)*dx
设an=∫(nπ,nπ+π)sinx/(1+x^2)*dx
原式变成a0+σ{n=1,+∞}
an
an是一个交错级数，并且当n趋向于无穷大an趋向于0，并且|an|<|a(n-1)|
根据交错级数判别法，收敛

Answer 2

∫
arctanx/(1+x²)
dx
=∫
arctanx
d(arctanx)
=0.5(arctanx)²
代入上下限∞和1
显然tanπ/2=+∞
即arctan∞=π/2，arctan1=π/4
所以
原反常积分
=0.5[(π/2)²-(π/4)²]
=3π²/32
显然是收敛的