Question

导数切线方程的解题方法，最好有例题，格式最好标准一点

Answer 1

求切线方程这种题目有不同的形式，而且切线的数量可能不只一条
有的题目给了切点，求在该处的切线方程
有得题目给了另外一条直线方程，求平行于或垂直于该直线的切线方程
有的题目没有给切点，但给了一个不在曲线方程上的坐标，求经过该坐标，且与曲线相切的方程
就给三个题型例子吧。
例子1：求曲线y
=
x²
-
2x在(-1，3)处的切线方程。
题解：题目说出了在(-1，3)「处」的，表示该坐标必定在曲线上
y
=
x²
-
2x
y'
=
2x
-
2
切线斜率=
y'|(x=-1)
=
2(-1)
-
2
=
-4
所以切线方程为y
-
3
=
-4(x
+
1)
即4x
+
y
+
1
=
0
所以答案是4x
+
y
+
1
=
0。
例子2：求与曲线y
=
x³
-
2x²
+
1相切，且平行于直线L：4x
-
y
-
5
=
0的切线方程。
题解：先设切点为Q(a，b)
y
=
x³
-
2x²
+
1
y'
=
3x²
-
4x
由于切线平行于直线L，所以
y'|(x=a)
=
L的斜率
3a²
-
4a
=
-
(4)/(-1)
=
4
3a²
-
4a
-
4
=
0
(3a
+
2)(a
-
2)
=
0
a
=
-2/3
或
a
=
2，代回曲线方程中，得
b
=
-5/27
或
b
=
1
在(-2/3，-5/27)处的切线方程为y
+
5/27
=
4(x
+
2/3)，即108x
-
27y
+
67
=
0
在(2，1)处的切线方程为y
-
1
=
4(x
-
2)，即4x
-
y
-
7
=
0
所以答案是108x
-
27y
+
67
=
0和4x
-
y
-
7
=
0。
例子3：求经过点(3，1)，且与曲线y
=
x²
-
3x
+
2相切的切线方程。
题解：将点(3，1)代入方程中，可知该点不在曲线方程中
先设切点P(a，b)
因为P在曲线上，所以b
=
a²
-
3a
+
2
...
(1)
y
=
x²
-
3x
+
2
y'
=
2x
-
3
在P处的切线斜率=
y'|(x=a)
=
2a
-
3
而连接点(3，1)和切点P(a，b)的切线方程的斜率为(b
-
1)/(a
-
3)
所以2a
-
3
=
(b
-
1)/(a
-
3)
(2a
-
3)(a
-
3)
=
b
-
1
b
=
2a²
-
9a
+
10
...(2)
现在联立(1)(2)式{b
=
a²
-
3a
+
2
...(1)
{b
=
2a²
-
9a
+
10
...(2)
将(1)代入(2)：a²
-
3a
+
2
=
2a²
-
9a
+
10
a²
-
6a
+
8
=
0
(a
-
2)(a
-
4)
=
0
a
=
2
或
a
=
4，代回(1)得
b
=
0
或
b
=
6
在(2，4)处的切线方程的斜率为2(2)
-
3
=
1
切线方程为y
-
0
=
x
-
2
即x
-
y
-
2
=
0
在(0，6)处的切线方程的斜率为2(4)
-
3
=
5
切线方程为y
-
6
=
5(x
-
4)
即5x
-
y
-
14
=
0
所以答案是x
-
y
-
2
=
0和5x
-
y
-
14
=
0。