Question

高一数学难题

已知a,b属于(0,派),tan(a-b)=1/2,tanb=-1/7,求2a-b的值.

Answer 1

这道题首先要凑出2a-b，然后算出正切值，关键是正确得出2a-b的范围，很容易做错。
这道题要求熟悉正切函数的图形、性质，特殊角的正切值。

1、“由tanb=-1/7,0<b<π 知3/4π<b<π
分析：首先正切函数在二、四象限为负，故π/2<b<π
又正切函数在第二象限为增函数且tan3/4π=-1（画函数图像最简便）
所以可以缩小b的取值范围为 3/4π<b<π

2、中间段的解释；
因为a、b∈（0，π）所以必须先判断出 -π<a-b<π（这一步没过程可依，a最大、b最小取最大值；a最小、b最大取最小值）
因为tan（a-b）=1/2，所以要在 -π<a-b<π 的基础上尽可能将a-b范围缩小
通过上面介绍的方法，画函数图像，取特殊角，得出
0<a-b<π/4,或-π<a-b<-3/4π

3、“相加得-π/4<a<π/4,或3/4π<a<π ”
分析：将 3/4π<b<π 与 0<a-b<π/4 左右分别相加得
3/4π<a<5π/5 （不等式的加减知识）
又 a∈（0，π），所以 3/4π<a< π
同样将 3/4π<b<π 与 -π<a-b<-3/4π 左右分别相加得
-π/4<a<π/4

4、“进而-3/2π<2a-b<-π/4,或π/2<2a-b<5/4π”这句有错误
由 0<a-b<π/4得3/4π<a<π
由-π<a-b<-3/4π 得-π/4<a<π/4,
将上两行的两个不等式分别相加应该得出
3π/4<2a-b<5/4π 或 -5/4π<2a-b<-π/2,

5、最后在以上范围的基础上由tan(2a-b)=1
得出 2a-b=-3/4π