Question

已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数且在[0,+∞]上为增函数

(1)求证函数f(x)在(-∞，0]也是增函数
(2)若f(1/2)=1，解不等式-1<f(2x+1)≤0

Answer 1

（1）证明：
设x1<x2,且x1,x2∈[0,+∞)
∵函数f(x)在[0,+∞]上为增函数
∴f(x1)-f(x2)≥0

函数f(x)在定义(-∞,+∞)上是奇函数
∴f(-x)=-f(x)

又 -x2<-x1,且-x1,-x2∈(-∞,0]

∴f(-x2)-f(-x1)=-f(x2)-[-f(x1)]
=f(x1)-f(x2)≥0

故，函数f(x)在(-∞,0]也是增函数。

（2）∵函数f(x)是奇函数，且在[0,+∞]上为增函数
又函数f(x)在(-∞,0]也是增函数(由1得证)

∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数
f(-1/2)=-f(1/2)=-1,f(0)=0

又 -1<f(2x+1)≤0
即 f(-1/2)<f(2x+1)≤f(0)

∴ -1/2<2x+1≤0
解得：-3/4<x≤-1/2

希望你能从中总结出你自己的方法，那样你下次解同类题时就可以用同样的方法解决！

Answer 2

证明：设0＜x1＜x2，因为f(x)在此范围内单调递增，所以f(x1)＜f(x2);
设x3=-x1，x4=-x2,易知x4＜x3＜0
f(x3)-f(x4)=f(-x1)-f(-x2)
=-f(x1)+f(x2)＞0 (f(x)是奇函数）
所以f(x)在（-∞，0]也是增函数。

2）因为f(x)为奇函数且在其定义域内单调递增，所以f(0)=0
∵ f(1/2)=1,f(-1/2)=-1
∴ -1/2＜2x+1≤0
解得 -3/4＜x≤-1/2

Answer 3

（1）对于-∞<x2<x1<=0
有0<=-x1<-x2<+∞
∵f(x)是奇函数，且在[0,+∞]上为增函数
f（-x2）>f(-x1)
-f(x2)>-f(x1)
f(x2)<f(x1)
∴函数f(x)在(-∞，0]也是增函数

（2）-1<f(2x+1)≤0
f(-1/2)<f(2x+1)≤f(0)
∵增函数
∴-1/2<2x+1≤0
-3/4<x<=-1/2