Question

如图，三角形ABC中，∠ABC=135°，点G是AC上一点，且∠ABG=45°，求证：AC·BG=BC·AG。

Answer 1

由正弦定理，　
　　在三角形ABC中，有AC／sin（∠ABC）＝BC／sin（∠A），即AC／BC＝sin（∠ABC）／sin（∠A）．
　　同理可知AG／BG＝sin（∠ABG）／sin（∠A）．
　　又因为∠ABC＝135，∠ABG＝45，所以sin（∠ABC）＝sin（∠ABG）＝√2／2，
　　所以sin（∠ABC）／sin（∠A）＝sin（∠ABG）＝sin（∠A），所以AC／BC＝AG／BG，即AC×BG＝BC×AG，
　　原题得证。

Answer 2

由正弦定理，　
　　在三角形ABC中，有AC／sin（∠ABC）＝BC／sin（∠A），即AC／BC＝sin（∠ABC）／sin（∠A）．　
　同理可知AG／BG＝sin（∠ABG）／sin（∠A）．　
　又因为∠ABC＝135，∠ABG＝45，
则sin（∠ABC）＝sin（∠ABG）＝√2／2，　
　故sin（∠ABC）／sin（∠A）＝sin（∠ABG）＝sin（∠A），
所以AC／BC＝AG／BG
得AC×BG＝BC×AG，