Question

数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an

对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。
解：令an＋x??13n=2（an＋x??13n-1）则an=2an－1+ 2x??13n-1－x??13n=53 x??13n-1=5x??13n
而由已知an=2an－1＋13n故5x=1，则x=15 。故an＋15 ??13n＝2（an－1＋15 ??13n-1）
从而{an＋15 ??13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 ??13=1615 的等比数列。
于是an＋15 ??13n=1615 ×2n－1，则an=1615 ×2n－1－15 ??13n=115 （2n+3－13n－1）
对于an=2an－1+ 2x??13n-1－x??13n=53 x??13n-1=5x??13n 这一步不是很明白,希望可以给我讲解一下.
还有貌似他的计算是有问题的,最好算一下

Answer 1

你的表示我不太明白，直接解一次吧。

待定系数法比较直观，如果直接去凑的话，不好明白。
令(an+x*n+y)=2(a(n-1)+x*(n-1)+y)
展开，并且比较系数
an=2a(n-1)+x*n+y-2x
已知an=2a(n-1)+13n
可以比较得到 x=13,y-2x=0 y=26
故可以构造{an+13n+26}满足等比数列的性质，公比为2，首项40
那么 通项an=40*2^（n-1）-13n-26，n>=2 a1=1