如图△ABC中AB=AC,∠A=90°,D为BC中点,E,F分别为AB,AC上的点且满足EA=CF求证DE=EF
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分析:(1)先连接ad,构造全等三角形:△bed和△afd.ad是等腰直角三角形abc底边上的中线,所以有∠cad=∠bad=45°,ad=bd=cd,而∠b=∠c=45°,所以∠b=∠daf,再加上be=af,ad=bd,可证出:△bed≌△afd,从而得出de=df,∠bde=∠adf,从而得出∠edf=90°,即△def是等腰直角三角形;
(2)还是证明:△bed≌△afd,主要证∠daf=∠dbe(∠dbe=180°-45°=135°,∠daf=90°+45°=135°),再结合两组对边对应相等,所以两个三角形全等.
(1)证明:连接ad
∵ab=ac,∠bac=90°,d为bc的中点,
∴ad⊥bc,bd=ad.
∴∠b=∠dac=45°
又be=af,
∴△bde≌△adf(sas).
∴ed=fd,∠bde=∠adf.
∴∠edf=∠eda+∠adf=∠eda+∠bde=∠bda=90°.
∴△def为等腰直角三角形.
(2)解:△def为等腰直角三角形.
证明:若e,f分别是ab,ca延长线上的点,如图所示:
连接ad,
∵ab=ac,
∴△abc等腰三角形,
∵∠bac=90°,d为bc的中点,
∴ad=bd,ad⊥bc(三线合一),
∴∠dac=∠abd=45°.
∴∠daf=∠dbe=135°.
又af=be,
∴△daf≌△dbe(sas).
∴fd=ed,∠fda=∠edb.
∴∠edf=∠edb+∠fdb=∠fda+∠fdb=∠adb=90°.
∴△def仍为等腰直角三角形
(2)还是证明:△bed≌△afd,主要证∠daf=∠dbe(∠dbe=180°-45°=135°,∠daf=90°+45°=135°),再结合两组对边对应相等,所以两个三角形全等.
(1)证明:连接ad
∵ab=ac,∠bac=90°,d为bc的中点,
∴ad⊥bc,bd=ad.
∴∠b=∠dac=45°
又be=af,
∴△bde≌△adf(sas).
∴ed=fd,∠bde=∠adf.
∴∠edf=∠eda+∠adf=∠eda+∠bde=∠bda=90°.
∴△def为等腰直角三角形.
(2)解:△def为等腰直角三角形.
证明:若e,f分别是ab,ca延长线上的点,如图所示:
连接ad,
∵ab=ac,
∴△abc等腰三角形,
∵∠bac=90°,d为bc的中点,
∴ad=bd,ad⊥bc(三线合一),
∴∠dac=∠abd=45°.
∴∠daf=∠dbe=135°.
又af=be,
∴△daf≌△dbe(sas).
∴fd=ed,∠fda=∠edb.
∴∠edf=∠edb+∠fdb=∠fda+∠fdb=∠adb=90°.
∴△def仍为等腰直角三角形
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