Question

求证 [1+1/(2n)]^n<2 其中n为正整数

Answer 1

1。用放缩法
[1+1/(2n)]^n=[(2n+1)/2n]^n
<[2n/(2n-1)]*[(2n-1)/(2n-2)]……*[(n+2)/(n+1)][(n+1)/n]=2
也可以求下界
[1+1/(2n)]^n
>=[(2n+1)/2n]*[(2n+2)/(2n+1)]*[(2n+3)/(2n+2)]...[(3n-1)/3n]=3/2
以上两种用的是放缩法
2.
关于本题的扩展
其实<2是很不紧凑的，因为我们对每一项都进行了放缩。
那么那个数最紧凑呢，是sqrt(e)
e是自然对数中出现的那个，sqrt表示根号
如果你学过极限和导数，可以这么做
e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
lim(n→+∞)(1+1/2n)^n=lim(n→+∞)sqrt[(1+1/2n)^2n]=sqrt(e)
然后只要证明(1+1/2n)^n单调递增即可，这里你可以对(1+1/2n)^n求导，当然这个求导有难度。
而因为n是正整数，你只要证明[1+1/(2n)]^n<[1+1/(2n+2)]^(n+1)
这里可以用基本不等式，是个很好的放缩，演示给你看一下，希望你对放缩发有启发。
要证明[1+1/(2n)]^n<[1+1/(2n+2)]^(n+1)
只要证明[1+1/(2n)]^2n<[1+1/(2n+2)]^(2n+2)
只要证明[1+1/(x)]^x<[1+1/(x+1)]^(x+1)
x是正整数
1+1/(x+1)=1/x+1/x+...+1/x+1>(x+1)个(x+1)次根号下[(1/x)^x*1/(x+1)]
[然后将x+1放到根号中去]
=(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
1+1/(x+1)>(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
(1+1/(x+1))^(x+1)>(x+1/x)^x
这样就可以证明其单调性了