Question

高等数学傅里叶级数题？

求该题！谢谢

Answer 1

f(x+0)和f(x-0)分别是f(x)在x处的右极限与左极限,即f(x+0)=lim(tx+) f(t),f(x-0)=lim(tx-) f(t)

追问

你在说啥？？

Answer 2

由傅里叶级数展开公式可得=

Answer 3

分享解法如下。按照傅里叶级数定义，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx，n=1,2，……。
而，f(x)=πx-x丨x丨是奇函数。∴f(x)cos(nx)是奇函数、f(x)sin(nx)是偶函数。题中积分区间对称，按照定积分的性质，有a0=0，an=0；bn=(2/π)∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx。
又，应用分部积分法，∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx=(1/n)∫(0,π)(π-2x)cos(nx)dx=…=(-2/n³)[(-1)^n-1]。
∴n为偶数时，bn=0；n为奇数时，bn=8/(πn³)。
设n=2k-1，k=1,2，……。∴n为奇数时，f(x)=∑(bn)sin(nx)=(8/π)∑[sin(nx)]/n³=(8/π)∑[sin(2k-1)x]/(2k-1)³。
∴f(x)=(8/π)∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³，n=1,2，……。
该级数收敛。∵丨g(x)丨=丨8∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³丨≤∑1/(n-1/2)³~∑1/n³，收敛。故，傅里叶级数f(x)收敛。