Question

如何证明两个实数间一定存在无理数?

Answer 1

相对于证明无理数处处稠密。设a为任意有理数，则 “a + 根号2” 为无理数，即由有理数处处稠密立即得出无理数也处处稠密，证毕。

几千年前，那时我们的祖先还没有数的概念，他们只能观察出数量的多少。换句话说，他们能看出三头牛和五条牛，四个瓜和两个瓜的区别，但不能抽象出3<5与4>2的数学概念。没有数学概念，自然没有成形的符号语言。

古人便只能通过结绳计数等方法处理一些简单的问题。随着生产力的发展，数的使用愈加频繁，结绳计数的弊端逐渐突显，符号表示油然而生。人们用一条横线表示1，两条横线表示2，用三条横线表示3。这一变化看起来微不足道，实际上却有着重要的意义。

符号表示让数脱离了物质实体，五头牛的数量只需要用五条横杠来代替。这是人类第一次有了数的概念，从某种意义上说，也是人类开始建立起最基本的数学概念。

在数被抽象出来之后，人们慢慢有了进制的概念十、百、千、万的出现让符号计数更加简便，它们之间的四则运算也不再困难。这些最早的数字（0，1，2……）源于自然界中的事物，比如一群牛的只数，一堆果子的个数，从而被称为自然数。自然数是数学发展中最基本的概念。

所有的数学结论都由此展开。从幼儿园小朋友的1+1=2，到历时358年的费马大定理，他们都同源于自然数这一起点。回到上面那个问题，为什么我们下意识间会想到自然数呢？回想一下学习数学的过程，其实我们和古人一样，也是首先通过自然数来接触数学，抽象数学。

通过自然数来认识世界。整数、有理数、实数、复数在某种程度上都由自然数出发，定义而来。从这个角度上讲，自然数是我们对数学，对数字的最初认识，从而在我们的脑海中留下了最深刻的印象。