函数泰勒展开与幂级数展开有什么区别联系?
函数泰勒展开与幂级数展开都是表示函数的精度问题。泰勒公式把后面的部分项用高阶无穷小代替了，级数的话一直列写了出来。而幂级数是函数项级数，是无数个幂函数之和。
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
泰勒公式的余项：
泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。
一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。
参考资料来源：百度百科－泰勒公式
两者的思路想法是一致的，都是想用多项式函数来表示一个函数。区别在于，泰勒展开是有限个幂函数之和再加一个拉格朗日余项，而幂级数是函数项级数，是无数个幂函数之和。
一个函数能否在某个区间展开成幂级数等价于，其泰勒展开的拉格朗日余项在这个区域内是否趋于零。
所以只要满足泰勒展开条件的函数都可以进行泰勒展开，并且保证两者是等价的。但是由于不能保证其拉格朗日余项在n趋于无穷的时候一定趋于零，所以也就是说不能保证满足任意阶可导的函数一定能被幂级数表示。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。
泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。
