Question

微分方程解题过程疑问？

如图，这个2x是怎么代入的？（我知道这是积分上限代入的，但是不清楚原函数是什么，图里省略了） 上一步还有In2求导，怎么到了下一步就没了？求这道题的详细解题步骤

Answer 1

有如下的公式变限积分求导公式，数学分析教材上应该有证明过程，

可以直接使用即可

另外，ln2是常数，所以，求导为0,

Answer 2

解:设t/2=u，原方程化为
f(x)=2∫(x，0) f(u) du+ln2 [方程2]
两边同时求导，有f'(x)=2f(x)，
f(x)=ce^2x
将f(x)=ce^2x代入方程2，得:
ce^2x=2∫(x，0) ce^2u du+ln2
-ce^2u|(u=0)+ln2=0
c=ln2
方程的解为y=ln2×e^2x

Answer 3

分享一种“理解”。令y=t/2，dt=2dy。∴f(x)=2∫(0,x)f(y)dy+ln2。
而，ln2为常数。两边对x求导，∴f'(x)=2f(x)。∴f'(x)/f(x)=2，即[lnf(x)]'=2。∴lnf(x)=2x+c。
∴f(x)=Ce^(2x)。又，f(0)=ln2。∴C=ln2。故，f(x)=(ln2)e^(2x)。