Question

a，b均为正实数，a+b+ab=3 求a+2b的最小值？（我问的是a+2b不是a+b）

Answer 1

a，b均为正实数，a+b+ab=3,
所以b=(3-a)/(1+a),
a+2b=a+2(3-a)/(1+a)=a-2+8/(1+a)
=1+a+8/(1+a)-3
≥4√2-3，
当a=2√2-1，b=√2-1时取等号，
所以a+2b的最小值是4√2-3.

Answer 2

a+b=3-ab,a+2b=a+b+b=3-ab+b=3+b（1-a),当a=1时，原式最小是3

Answer 3

∵a＋b＋ab＝3，∴（a＋1）（b＋1）＝4，或者（a＋1）（2b＋2）＝8，a，b＞0，那么a＋1＞0，2b＋2＞0，由于算术平均值≥几何平均值，从而a＋1＋2b＋2≥2√（a＋1）×√（2b＋2）＝2√8＝4√2，则a＋2b≥4√2－3，也就是Min（a＋2b）＝4√2－3。