Question

2(x²+1)㏑x≤ax(e∧ax+1)恒成立求a的范围

Answer 1

首先，对于$x \leq 0$，$\ln x$没有定义，因此我们只需要考虑$x>0$的情况。

将$x$移到左侧，$ax$移到右侧，然后将对数项移到右侧，得到：

$$2(x^2+1)\ln x-a(xe^{ax}+e^{ax}) \leq 0$$

考虑函数$f(x)=xe^{ax}$，则它的导数为$f'(x)=ae^{ax}+xe^{ax}=e^{ax}(a+x)$。当$a>0$时，$f'(x)>0$，因此$f(x)$在$x>0$时是单调递增的，并且$f(0)=0$。

因此，当$x>0$时，$ax+1>0$，$e^{ax+1}>1$，所以：

$$\begin{aligned} 2(x^2+1)\ln x-a(xe^{ax+1}) &\leq 2(x^2+1)\ln x-a(xe^{ax}+e^{ax}) \\ &\leq 2(x^2+1)\ln x-a(f(x)+1) \\ &= (2\ln x-a)f(x)+2\ln x-1 \end{aligned}$$

因此，不等式左侧的部分可以看作函数$(2\ln x-a)f(x)+2\ln x-1$，其中$f(x)=xe^{ax}$，该函数的值与$f(x)$的值成正比关系。因此，为了满足不等式，我们搏慎需基仿敬要保证$(2\ln x-a)f(x)+2\ln x-1 \leq 0$，即：

$$(2\ln x-a)xe^{ax}+2\ln x-1 \leq 0$$

因为$x>0$，所以$\ln x>0$，可以将不等式两侧同时除以$\ln x$，得到：

$$2(ax-1)+\frac{2\ln x}{\ln x}-\frac{1}{\ln x} \leq 0$$

化简得：

$$2(ax-1)+2-\frac{1}{\ln x} \leq 0$$

因此：

$$ax\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2\ln x}$$

而对于$x>0$，有大姿：

$$\ln x \leq x-1$$

因此，

$$\frac{1}{2\ln x} \geq \frac{1}{2(x-1)}$$

将其代入原式得：

$$ax \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2(x-1)}$$

因此，$a$的范围为：

$$a \in \left(-\infty, \frac{1}{2}+\frac{1}{2(ⅹ