Question

初三向高一转型 暑假数学习题

1.求证：整数的平方，被3除不会余2，被4除不会余2，也不会余3。
2.试证方程x的平方减3倍的y的平方等于17无整数解。

Answer 1

1.设n为整数。
则不能被3整除的整数有：3n+1、 3n+2；
不能被4整除的整数有：4n+1、 4n+2、 4n+3.
进行以下计算即可证明：
（3n+1)²/3=(9n²+6n+1)/3=(3n²+2n)余1；
（3n+2)²/3=(9n²+12n+3+1)/3=(3n²+4n+1)余1；
（4n+1)²/4=(16n²+8n+1)/4=(4n²+2n)余1；
（4n+2)²/4=[2(2n+1)]²/4=(2n+1)²；
（4n+3)²/4=(16n²+24n+8+1)/4=(4n²+6n+2)余1；
2. x²-3y²=17
→x²/3-y²=17/3=5余2；
当x、y为整数时，由第1题已证：x²除以3不可能余2，故以上等式不成立；
即x²-3y²=17无整数解。

Answer 2

(1)
∵任何一个整数可以写成：3K,3k+1,3k+2三者中的一个
∴(3K)²=9k²被3除余0,（3k+1）²=9k²+6k+1被3除余1,(3k+2)=9k²+12k+4被3除余1
∴任何整数的平方被3除不余2

同理任何整数可以写成：4k,4k+1,4k+2,4k+3中的一个
∴（4k）²=16k²被4除余0,(4k+1)²=16k²+8k+1被4除余1,(4k+2)²=16k²+16k+4被4除余0. (4k+3)²=16k²+24k+9除余1
∴任何整数的平方被4除不余2,也不会余3。
(2)
依题意题目是证明x²=17+3y²无整数解
∵由（1）知整数的平方，被3除不会余2
∴整数x，其平方数x²被3除不会余2
但是17+3y²被3除余2所以式子x²=17+3y²无整数解

Answer 3

第二问：利用数形结合，令y1=x^2, y2=3x^2+17.
题中要求所证意思可转化为两方程图像没有交集。

第一题，不知道…

Answer 4

1.用反证法吧,应该可以做的
2.数形结合,方程图是一双曲线,顶点明显在0到1的区间,自然无整数解.顶点坐标可求

Answer 5

不懂了、、