Question

一道数学不等式证明题

如果 a+b+c+d=1,证明 a^2+b^2+c^2+d^2大于或等于 1/4

Answer 1

因为对任意实数x,y有不等式 2(x^2+y^2)>=(x+y)^2 成立，所以
a^2+b^2>=(1/2)(a+b)^2，c^2+d^2>=(1/2)(c+d)^2，因此
a^2+b^2+c^2+d^2
>=(1/2)(a+b)^2+(1/2)(c+d)^2
=(1/2)[(a+b)^2+(c+d)^2]
>=(1/2)*(1/2)*(a+b+c+d)^2
=1/4
即 a^2+b^2+c^2+d^2>=1/4.

Answer 2

有(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2+(a-d)^2+(b-d)^2+(c-d)^2>=0
3(a^2+b^2+c^2+d^2)>=2ab+2bc+2ac+2cd+2ad+2bd
4(a^2+b^2+c^2+d^2)>=(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2ac+2cd+2ad+2bd)=(a+b+c+d)^2=1
a^2+b^2+c^2+d^2)>=1/4

Answer 3

用柯西不等式..
1=a+b+c+d≤√（a^2+b^2+c^2+d^2）*√（1^2+1^2+1^2+1^2）=2√（a^2+b^2+c^2+d^2）
所以a^2+b^2+c^2+d^2大于或等于 1/4
喜欢一气呵成的写法....不过这种写法要先打草稿，不能一下就写出来......不理解的话在和我讨论吧.....柯西不等式还是蛮不错的

哦，忘了，还可以用基本不等式
1=a+b+c+d≤4*√（（a^2+b^2+c^2+d^2）/4）
同样可以得到a^2+b^2+c^2+d^2大于或等于 1/4