Question

一道函数难题

定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x+1）=f（2-x）成立，若f（x）=0仅有101个不同的实数根，那么所有的实数根的和为多少？

步骤！！（谢谢了）

Answer 1

由已知，由f(x+1)=f(2-x)=f[3-(x+1)]
f(x)=f（3-x）
所以得到f(x)是关于x=3/2对称
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是3/2，其余100个根可分为50对，
每一对的两根关于x=3/2 对称
利用中点坐标公式，这100个根的和等于3/2×100＝150
所有101个根的和为3/2×101＝303/2

Answer 2

易知f(1.5+x)=f(1.5-x)
所以该函数关于1.5对称
因此如果某个x使f(1.5+x)=0那么必有f(1.5-x)=f(1.5+x)=0
即1.5+x和1.5-x均为方程的根
而这两个根之和为1.5+x+1.5-x=3
由于共有101个根为奇数，所以x=1.5也是方程的根。
那么原方程有50对对称根和一个x=1.5的根
所有根的和为50*3+1.5=151.5