Question

高中数学题，高手请进

1. a是实数，关于x,y的二元方程(x^2+y^2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形，则公共对称轴是什么？
2. 若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线L:ax+by=0的距离为2跟号2 ,则直线L的倾斜角的取值范围是多少？

Answer 1

1、(x^2+y^2+x+y)-a(x+2y+1)=0是这样的一个图形：它过x^2+y^2+x+y=0和x+2y+1=0的两个交点。

所以对称轴与x+2y+1=0垂直，且过圆心

   2x-y+1/2=0

2、

   (x-2)²+(y-2)²=18,圆心P(2,2),半径3√2。经分析，园和直线的交点只有三种情况，2个、3个、4个。而3个交点是临界状态，我们先求这种情况。

    这时，圆心到直线的距离根号2，如下图 

  在△O'OA中，O'A=根号2

              O’O=2根号2

再根据动态的观点，你让直线绕原点O转转就知道倾斜角的范围是

  【15°，75°】

Answer 2

和你说下第二题吧。
2 (x-2)²+(y-2)²=18,圆心P(2,2),半径3√2

圆上至少有三点到直线距离为2√2, ∴圆心P到直线距离最大为3√2-2√2=√2

∴ax+by=0有一点在以P为圆心半径为√2的内部或在圆上
∴ax+by=0在两条切线之间,只要求出切线斜率即可

ax+by=0过原点,且OP=2√2是P到切线距离的2倍, 切线与直线OP夹角为π/6

直线OP为y=x,倾斜角为π/4

∴切线倾斜角为π/4+π/6=5π/12或π/4-π/6=π/12

∴直线的倾角范围为[π/12,5π/12]