Question

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2*根号2。

∠PAB=60°，（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小， （3），求二面角P—BD—A的大小的正切值

Answer 1

（1）∵在三角形PAB中，AB=PA=2，PD=2√2，由勾股定理逆定理，
∴△PAB是等腰RT△，
AD⊥PA，，
∵四边形ABCD是矩形，AD⊥AB，
AB∩PA=A，
∴AD⊥平面PAB。
（2）、在平面PAB上作PE⊥AB，垂足E，连结CE，
由上所述，∵AD⊥平面PAB，PE∈平面PAB，
∴AD⊥PE，
∵AB∩AD=A，
∴PE⊥平面ABCD，
〈PAE=60度，
PE=PA*sin60°，PE=√3，AE=PA/2=1，
BE=AB-AE=3-1=2，
EB=BC=2，EC=2√2，
根据勾股定理，PC=√(EC^2+PE^2)= √11,
PB=√(PE^2+BE^2)=√7,
在三角形PBC中，根据余弦定理，
PB^2=PC^2+BC^2-2*PC*BC*cos<PCB,
cos<PCB=2/√11
<PCB=arccos(2/√11),
∵AD‖BC,
∴BC与PC所成角<PCB就是异面直线AD与PC所成角,
BC与PC所成角为arccos(2/√11).
3、PE⊥平面ABCD，△PBD在平面ABCD上的射影是△PBE，
BD=√13，在三角形PBD中，根据余弦定理，
BD^2=PB^2+PD^2-2PB*PD*cos<BPD,
cos<BPD=1/(2√14)
sin<BPD=√77/11
S△PBD=PB*PD*sin<BPD/2=7√22/11,
S△DEB=(2*3/2)*2/3=2,
设二面角P-BD-A平面角为α，S△PBD*cosα= S△DEB,
cosα=2/(7√22/11)=√22/7,
α=arccos(√22/7)
∴二面角P-BD-A为arccos((√22/7)。