Question

求抛物线y+1=x^2-5与直线y=1+x所围成的面积

Answer 1

要求抛物线 y+1=x^2-5 与直线 y=1+x 所围成的面积，我们可以使用定积分方法来计算。
首先，我们需要确定两条曲线的交点，即它们的横坐标相等时的纵坐标。
将直线方程 y=1+x 代入抛物线方程 y+1=x^2-5，可以得到：
1+x+1=x^2-5,
x^2-x-7=0.
通过求解这个二次方程，可以得到两个解：x=-2 和 x=3。
因此，这两条曲线的交点为 (-2, -1) 和 (3, 4)。
要计算两条曲线所围成的面积，我们需要找到这两条曲线之间的面积，并对其进行积分。
由于直线 y=1+x 处于抛物线 y+1=x^2-5 的上方，我们可以将积分限定在两个交点之间的范围。
因此，面积可以表示为：
A = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,
其中 f(x) 代表抛物线的函数，g(x) 代表直线的函数，a 和 b 分别是交点的横坐标。
根据题目中给出的方程，我们有：
f(x) = x^2 - 6,
g(x) = 1 + x,
a = -2,
b = 3.
将上述值代入面积公式，可以得到：
A = ∫[-2, 3] (x^2 - 6 - (1 + x)) dx,
A = ∫[-2, 3] (x^2 - x - 7) dx.
对方程进行积分运算，可以得到：
A = [1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 - 7x] [-2, 3],
A = (1/3 * 3^3 - 1/2 * 3^2 - 7 * 3) - (1/3 * (-2)^3 - 1/2 * (-2)^2 - 7 * (-2)).
计算后，可以得到所围成的面积为：
A = (9 - 9 - 21) - (-8/3 + 2 - 14),
A = (-21) - (-8/3 - 12),
A = -21 + 32/3,
A = -63/3 + 32/3,
A = -31/3.
因此，抛物线 y+1=x^2-5 与直线 y=1+x 所围成的面积为 -31/3 或约为 -10.33 平方单位。请注意，面积为负值是因为两个曲线的相对位置。在计算面积时，取绝对值可以得到正数的面积值。