Question

高中数学题...

已知函数f（x）=㏒a〔（1－mx）／（x－1）〕（a大于零且不为1）是奇函数
①求实数m的值
②判断函数f（x）在（1，正无穷大）上的单调性并证明
③当x属于（r，a－2）时，函数的值域是（1，正无穷大），求实数a与r的值

Answer 1

1,f(-x)=loga((1+mx)/(-x-1))
f(-x)+f(x)=0 =>
loga[((1+mx)/(-x-1))*((1-mx)/(x-1))]=0 =>
m^2x^2=x^2;
=>m^2=1;
若m=1;
f(x)=loga(-1)，定义域为空集
故m=-1
2,f(x)=loga((x+1)/(x-1))=loga(1+2/(x-1));(x>1或x<-1);
1+2/x-1在x>1或x<-1上都为减函数,故当
a>1时f(x)在x>1或x<-1都递减
a<1时f(x)在x>1或x<-1都递增
（若要证明需要用单调性定义或导数）
3,若a<1,则a-2<-1.
f(x)在x<-1时单调递增.f(r)<f(x)<f(a-2)，右界不可能为正无穷
故a>1.且f(x)单调递减。故f(a-2)=1 =>
a=2+根号3；
而r只可能为1;
因为若r<1与函数定义域矛盾，若r>1,右界不可能为正无穷.
故
a=2+根号3
r=1

Answer 2

第一问：因为是奇函数，所以f(x)=-f(-x),所以（1-mx)/(x-1)=(-x-1)/(1+mx),可得m=±1，但当m=1时f(x)化为f(x)=loga(-1)，无意义。∴m=-1.
第二问：f(x)=loga（（1+x)/(1-x))=loga(1+2/(x-1))
若0<a<1，则x增大时，1+2/(x-1)减小，f(x)增大，增函数；
若a>1，则x增大时，1+2/(x-1)减小，f(x)减小，减函数。
第三问不会了。