Question

高考数列数学归纳法的难题。高手进

已知An=(1+lgx)^n，Bn=1+nlgx+n(n-1)/2(lgx)^2，其中n∈N，n>=3，x∈(1/10,+∞)，试比较An与Bn的大小。

用数学归纳法证。。
Bn＝1+n*lgX+{[n(n-1)]/2}*(lgX)^2 嗯这样看上去会清楚些谢谢

有过程吗？

Answer 1

当x=1.时，An等于Bn
当x∈(1/10,1)，A3<B3,假设当n=k时，An<Bn
即(1+lgx)^k<1+klgx+k(k-1)/2(lgx)^2;
两边同时乘以(1+lgx)得
(1+lgx)^(k+1)<1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3
因为x∈(1/10,1),则lgx<0，故(1+lgx)^(k+1)<1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3<1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2;
即当n=k+1,An<bn也成立,所以
当x∈(1/10,1)时，An<Bn。

当x∈(1,+∞).A3>B3.假设当n=k时，An>Bn,即(1+lgx)^k>1+klgx+k(k-1)/2(lgx)^2
两边同时乘以(1+lgx)得
(1+lgx)^(k+1)>1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3
因为lgx>0.所以(1+lgx)^(k+1)>1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3>1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2,
即A[k+1]>B[k+1],n=k+1时也成立;
故当x∈(1,+∞)时，An>Bn。

Answer 2

证了一半…… 关键要把lgx换元，写成新的X，原命题就等价于比较(1+X)^n和1+nx+n(n-1)/2 x^2的大小。假设an<bn,然后用数学归纳法假设当n=k时成立，然后当n=k+1时左右同乘（1+x），整理右侧，把带（1+x）的括号打开整理，按x升或降幂排列，对照原命题发现多出了带x三次方的正项，放缩即可。最后证出an<bn。 这个是（1/10,0）的……

Answer 3

设f（x）=An-Bn=(1+lgx)^n -( 1+n*lgX+{[n(n-1)]/2}*(lgX)^2)

展开 (1+lgx)^n= 1+n*lgX+{[n(n-1)]/2}*(lgX)^2 + ……

明显 f（x）>0 所以 An>Bn

Answer 4

我感觉你题打错了 Bn＝1+n*lgX+{[n(n-1)]/2}*(lgX)^2 吧