Question

一道高中数学解析几何题

已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型
(2)当k=2时,求|2向量AP+向量BP|的最大,最小值

Answer 1

(1).设P(x,y),则：AP={x,y-1},BP={x,y+1},PC={x-1,y},所以, x^2+y^2-1=K[(x-1)^2+y^2], 当K=1时，得：x=1,为一条垂直x轴的直线；当K≠1时，得：[x+K/(1-K)]^2+y^2=1/(1-K)^2, 为以(-K/(1-K),0)为圆心，1/|1-K|为半径的圆. (2).|2*AP+BP|=|{3x,3y-1}|=√(9x^2+(3y-1)^2), 且，(x-2)^2+y^2=1, 令f=9x^2+(3y-1)^2, =>f/9=x^2+(y-1/3)^2, 表示点(x,y)到点(0,1/3)的距离的平方，而(x,y)在以点(2,0)为圆心，1为半径的圆上，由图象可知，f/9的最大值是((√37)/3+1)^2,最小值是((√37)/3-1)^2,所以，|2*AP+BP|=√f的最大值是√37+3，最小值是√37-3.