Question

设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x²＋2x＋b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，

经过这三个交点的圆记为C.
①求实数b的取值范围；
②求圆C的方程；
③问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。
要有详细的步骤！谢谢！

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=x2+2x+b

对称轴x0=-b/2a=-1，

∵与x轴有两个交点，∴△=4-4b>0

∴b<1

又f（x）图象与y轴有一个交点，当x=0时，f（0）=b≠0

∴b∈（-∞，0）∪（0，1）

（Ⅱ）f（x）=0
计得 x1=-1-√（1-b)， x2=-1+√(1-b)

f（x）图象与坐标轴交点A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，b）

由圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

代入A、B、C

x1^2+Dx1+F=0 （1）

x2^2+Dx2+F=0 （2）

b^2+Eb+F=0 （3）

（1）-（2）：D=2
代入（1）: F=b
代入（3）: E=-（b+1）

∴圆方程为x2+y2+2x-（b-1）y+b=0

(Ⅲ） 上面圆的方程变形为：

x2+y2+2x-y-b（y-1）=0

当y=1时，消去b，x=0，-2

∴定点为（0，1）、（-2，1）