Question

在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x^2+2x+b的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C

(Ⅰ)求圆C的方程；

（Ⅱ）设定点A是圆C经过的某定点(其坐标与b无关)，问是否存在常数k,使直线y=kx+k与圆C交于点M,N，且|AM|=|AN|.若存在，求k的值;若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）利用△，△=4-4b，因为与两坐标轴有三个交点，所以与X轴有两个交点，三角>0，所以b<1.又因为它不能过原点（不然就是两个交点），所以范围是b<1且b≠0.
设抛物线与X轴交于AB两点，则C一定在AB的垂直平分线，也就是抛物线的对称轴上。所以C横坐标为-2/2=-1，又过点A（根号下（1-b）-1,0），设圆的方程为（x+1)²+(y-m)²=r²，那么C(-1,m），r=根号下【（根号下（1-b)-1+1）²+m²】=根号下（m²-b+1)
因为（0,b）在圆上，那么将(0,b）代入，有
1+（b-m）²=m²-b+1,b²+b=2bm，因为b≠0所以m=（b+1）/2
C（-1,(b+1)/2)，r²=（b²+5-2b)/4
方程为（x+1)²+(y-b/2-1/2)²=b²/4+5/4-b/2

Answer 2

由题意,
f(x)=x²+2x+b与x轴有2个交点,与y轴有1个交点且不在x轴上
f(0)=b,
则与y轴交点为(0,b),
要使得不在x轴上
∴b≠0
f(x)与x轴有2个交点,
则f(x)=x²+2x+b=0有2个不等根,
∴△=4-4b>0,
b<1
综上,b<1且b≠0