Question

求最小值

圆x^2+y^2+2x-4y+1=0关于2ax-by+2=0(a>0,b>0)对称，4/a+1/b的最小值

Answer 1

x^2+y^2+2x-4y+1=0关于2ax-by+2=0对称，则圆心(-1,2)在直线上，得-2a-2b+2=0 即a+b=1
4/a+1/b=(4/a+1/b)(a+b)=5+(4b/a+a/b)>=5+2√4=9
当4b/a=a/b时取等号

Answer 2

(x+1)^2+(y-2)^2=4
所以，圆心（-1,2)
由题意，直线经过圆心（-1，2），代入直线解析式
-2a-2b+2=0
a+b=1
a=1-b
原式=4/a+1/b
=(3b+1)/(b-b^2)
令w=(3b+1)/(b-b^2)
整理:wb^2+(3-w)b+1=0
(3-w)^2-4w≥0
-(3-w)/w>0 (两根之和大于0）
1/w>0 （两根之积大于0）
解之 w≥9