Question

高一数学难题

边长为a的正三角形A,B,C的中心为O,过O任意作直线交AB,AC于M,N;求OM的平方分之1+ON的平方分之1的最大值与最小值.

Answer 1

以O为坐标原点，OA为y轴,过O点且平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，如上图，
应为AB=a，由三角形关系得，A(0, √3a/3),
B（-a/2,- √3 a/6）,C(a/2,-√3a/6)
直线AB方程:y=√3x+√3a/3,
直线AC方程:y=-√3x+√3a/3,
设直线l的方程为：y=kx
l与AB、AC有交点，
则k的范围是-√3 a/6到√3 a/6,
连立方程，解出M、N的坐标（过程略），
解得，M（√3 a/【3*(k-√3)】,√3 ak/【3*(k-√3)】）,
N(√3 a/【3*(k+√3)】,√3 ak/【3*(k+√3)】）。
1/OM^2+1/ON^2=｛3*【（k+√3）^2】｝/【a^2*(1+k^2)】+
｛3*【（k-√3）^2】｝/【a^2*(1+k^2)】
=【6*（k^2+3）】/【a^2*(1+k^2)】=（6/a^2）*【2/(1+k^2)+1】,
k应为 -√3 a/6到√3 a/6,所以1/OM^2+1/ON^2的范围就求出来了（结果自己算一下）！