Question

初中数学几何题一道~

在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=9,点O在AC上,且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD。要是点D恰好落在BC上，求AP的长
答案是5，求过程，谢~~

Answer 1

图你自己画画吧？
解：∵∠ABC+∠BDP=∠APD=∠OPD+∠APO 且△ABC与△OPD都是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°=∠OPD ∠A=90°=∠POD ∴∠BDP=∠APO
∵∠AOP+∠COD=90°=∠AOP+∠APO ∴∠COD=∠APO=∠BDP ∵∠ABC=∠ACB
∴△PDB∽△OCD ∴BD：OC=BP：CD=PD：OD （在这里 △OPD是等腰直角三角形，∴三边比是1:1：根号2 即PD：OD=根号2：1）
∴BD=根号2倍OC ∵AO=2 AC=9 ∴BC=9倍根号2 OC=7 ∴BD=7倍根号2
∴CD=2倍根号2 ∵BP：CD=根号2:1 ∴BP=根号2倍CD=4 ∴AP=9-4=5

Answer 2

先正确画出图形。此题用相似来解决。△PBD～△DCO
由题意可知∠C=∠B=∠ODP=∠OPD=45°
所以∠PDB+∠ODC=180°-∠ODP=135°，∠ODC+∠DOC=135°
所以△PBD～△DCO

因为OP=OD且∠POD=90度
所以△OPD为等腰直角三角形
所以PD=根号二（打不出来）倍的OD
因为相似，所以对应线段成比例，OD与PD为对应线段（看图）
所以 OD：（比）PD=OC:BD=DC:PB=根号2
所以BD=OC*根号2=7倍的根号2
在等腰RT △ABC中，AB=AC=9,BC=根号二倍的AC=9倍的根号2
所以DC=BC-BD=2倍的根号2
所以PB=根号二*DC=2倍的根号2*根号2=4

证得AP=AB-BP=9-4=5