Question

已知CD是RT△ABC斜边AB上的高，求证：AB+CD大于AC+BC

已知CD是RT△ABC斜边AB上的高，求证：AB+CD›AC+BC

Answer 1

如果是选择，填空或者是解答题用到这个结论，可以这么思考，设AB=c，CD=d，AC=b，BC=a，显然有ab=cd（面积相等），然而，ab两条边的差比较小，cd两条边的差比较大，（因为c大于a，c大于b），根据“两数和相等，差越小，积越大可以得到结论”（其实就是均值不等式而已。）
严格证明如下：根据上设及ab=cd，
要证明a+b大于c+d，
只需证明（a+b）的平方大于（c+d）的平方，
即证明：a方+b方+2ab大于c方+d方+2cd
因为ab=cd，所以，就是证明a方+b方大于c方+d方
又因为在直角三角形中，所以有a方+b方等于c方，且d不等于0，
所以，不等式得证

Answer 2

证明：（最好先画个图）
由题意得∠C=90°
在三角形ACD中，AC<AD+DC
在三角形BCD中，BC<BD+DC
又∵AD+BD=AB
所以：AB+CD›AC+BC