Question

全等三角形

如图所示，正方形ABCD中，在边CD上任取一点，连AQ，过D点作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，BO=CO,BO⊥CO，连OP.OQ，试说明：OP⊥OQ

Answer 1

欲证OP⊥OQ，即证明∠COP+∠COQ=90°．然而，∠COQ+∠QOD=90°，因此只需证明∠COP=∠DOQ即可．这归结为证明△COP≌△DOQ，又归结为证明CP=DQ，最后，再归结为证明△ADQ≌△DCP的问题．

证 在正方形ABCD中，因为AQ⊥DP，所以，在Rt△ADQ与Rt△RDQ中有∠RDQ=∠QAD．所以，在Rt△ADQ与Rt△DCP中有

AD=DC，∠ADQ=∠DCP=90°，

∠QAD=∠PDC，

所以

△ADQ≌△DCP(ASA)，DQ=CP．

又在△DOQ与△COP中，

DO=CO，∠ODQ=∠OCP=45°，

所以

△DOQ≌△COP(SAS)，∠DOQ=∠COP．

从而

∠POQ=∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ

=∠COD=90°，

即OP⊥OQ．